こんにちは。Pachirinです。
先日に行われた、OMCB031に参加することができなかったので、後ほど自分で取り組みました。そのときに解けなかった問題の復習を1問やりたいと思います。
（初っ端のA問題も解けなかったことは黙っておいて、）C問題が解けそうで解けなかったので、これを復習します。
復習の1問
今回取り上げるのは自分が解けなかったC問題で、writerはpeparoniさんです。
Difficultyは1040で、緑diffです。
これを解けなかったのは、正直悔しいです。解けなければ、緑Solverのratingは確実に落ちます。
以下をクリックすれば問題ページへ飛べます。
https://onlinemathcontest.com/contests/omcb031/tasks/11373
復習という形で解法を自分なりに記録していきます。
なお、公式解説を参考にしています。
解説
与えられた条件はシンプルですが、なかなか良い初手がひらめきません。未知係数を置いて愚直にやっても計算地獄になるだけ（しかも、それで解けるとは限らない）なのは目に見えています。
解法のポイントは、「ともにの係数が
である」ことをどう活用するかです。このことと、
の条件式において各等式の引数が共通であることに注目すると、多項式
を新たに定義すれば良いのでは？とひらめきます（自分はひらめきませんでした）。
の
の係数はともに
であることから、
は高々2次の実数係数多項式です。また、
の条件式より
すなわち
が成立するため、方程式
はを解にもつ、すなわち多項式
は因数として
をもつことがわかります。
すると、は高々2次でしたから、
はある定数
を用いて
と書くことができるのです。よって、問題は
が成立しているとき、の値を求めよ、と変換できます。
ここまで来ればあとは簡単ですね。
まず、に
を代入し、
も合わせると、
を得ます。これで、
が判明しました。
は、
です。
ここで、を
に戻し、
を代入して整理すれば、
との値はただ一つに定まります。
まとめ
今回は、OMCB031のC問題を紹介しました。
個人的に、本問のような多項式関連の問題は苦手意識があります。でも、緑diffであれば、少なくとも解説を見ながら理解して勉強していきたいと思っています。因数定理が絡んでくるのがおもしろかったですね。
writerのpeparoniさん、ありがとうございました！
